Hoy 
Circo es sustantivo masculino que proviene del latín, cuyo significado es recinto cubierto por una carpa que contiene graderías para los espectadores, con una o más pistas donde actúan malabaristas, payasos, equilibristas, animales amaestrados etc.
De antiguo los romanos llamaron así a los lugares destinados a ciertos espectáculos destinados a carreras de carros o caballos.
En latín se decía circus. Este derivó en circense, adjetivo: relativo al espectáculo del circo o que es propio de él: juego que hacían los romanos en el circo.
Estas aplicaciones son extraídas del DRAE, 2001, de la Real Academia de la Lengua.
No obstante, no se consigna el empleado cirquense. Lo he buscado, también, entre otros lexicones, en el Diccionario de Americanismos, editado por la Asociación de Academias de la Lengua Española en febrero del 2010, edición patrocinada por Repsol, con la colaboración de la Junta de Andalucía. Esta publicación de Americanismos tampoco incluye cir/qu/ense, pero trae cir/qu/ero, con la constancia de que esta entrada es usual en 12 países de América Latina como sustantivo masculino y femenino: también adjetivo masculino y femenino (m., f.): República Dominicana, Ecuador, Chile, Argentina; sust. Y adj: Méjico, Honduras, Nicaragua, Cuba, Perú, Bolivia, Uruguay: Persona que, en un circo, forma parte de la compañía;
Adj; Méjico, Honduras, Nicaragua, Cuba, Perú, Bolivia, Chile, Argentina. Relativo al circo, masc. y fem. : Perú, Bolivia, Chile, Uruguay.
Masc. y fem.: Perú, Bolivia, Chile, Uruguay: Propietario de un circo.
La derivación irregular la he localizado en el siguiente texto:
En nombre de ese flagelo se ha creado todo un ambiente cirquense al estilo romano, donde a diario hay que arrojar a alguien a la arena para mantener los aplausos como de una gradería carnavalesca que sin el menor de los razonamientos pide sangre.
(Matutino Hoy, p.15 A, artículo [ ante una infamia], edición del 27 de febrero del 2013).
Cir/qu/ense no ha entrado tampoco en el Diccionario del Español actual, de Manuel Seco, ediciones Aguilar, 1999.
Hemos acudido a María Moliner, Editorial Gredos, 1975 volumen A-G. Contiene Cir/c/ense, y deja afuera a cir/qu/ense. Sucede igual en otros diccionarios de gran utilidad.
Tengo para mí que la doble derivación que aparenta ofrecer el viejo latinismo circus se debe o se origina en el sonido de /K/ que preside la segunda sílaba de circus: kus, que hace pensar al redactor del artículo: E. W. CR; ante una infamia, colocado en las cuatro columnas de la página ya indicada, publicación del miércoles 27 de febrero del año en curso, diario Hoy, confusión en la cual cae en el articulista en razón de encabezamiento de la segunda sílaba de cir/cus, que se inicia con sonido de /k/: letra que representa el fonema oclusivo velar sordo de kilómetro.
Cónyu/g/e se emplea delante de /e/, y de la /i/, como sonido velar sordo, casos de /gente/ y de /ginecólogo/.
Delante de la /a/, /o/, /u/ se presenta un sonido velar sonoro: ganador, gloriarse, gusto.
Es decir hay un cambio articulatorio que apenas percibimos diferencias de cónyu/g/e a conyug/a/l, pero la hay.
Quizás algo similar le pareció al articulista del miércoles antepasado, que lo inclinó a escribir cir/qu/ense en lugar de cir/c/ense.
