1. Cuando un empleado tiene una licencia de tres días, la empresa no está en la obligación de pagarle esos días, ¿pero tiene que reportarle su sueldo normal a la TSS?

A la TSS se debe reportar el salario devengado por empleado, es decir, el que corresponde a los días que el empleado haya laborado. En otras palabras, si el empleado se ausentó 3 días, el monto salarial a reportar a la TSS no tiene que incluir esos 3 días, pues esos días no se pagaron.
Esto es así, sustentado en lo previsto en el Art. 50 del CT y conforme a la jurisprudencia constante de la SCJ: Caso Televisa vs. Víctor Manuel Ortiz, 3ª SCJ, 4 Mar. 1999, B.J. 1060, Pág. 648; caso Julio Fco. Matos vs. CEA, 3ª SJC, 20 Mar. 2002, B.J. 1096, Págs. 878; caso Pizzarelli vs. Alfredo Mejía, 3ª SCJ, 18 Ago. 2017.

2. Tengo entendido que la licencia por paternidad fue aumentada. ¿Afecta esto a las empresas? ¿A cuántos días la aumentaron y en que artículo del CT está esa modificación?

Eso no ha ocurrido. No se modificado el CT para incorporar la “licencia de paternidad”

3. Desde mayo tengo en una medida de coerción (presentación periódica) por un caso de contrabando, y la institución donde trabajo inició un proceso llamado «Causal Destitución» según Art. 84.2, de ley 41-08 de Función Pública. ¿Pueden hacer ese proceso para destituirme sin yo haber recibido un juicio de fondo o sentencia? ¿Si el tribunal dictara no ha lugar, que sucedería?

Si la medida de coerción hubiese sido privativa de libertad, correspondería suspenderlo sin disfrute de salario. Pero, como se trata apenas de presentación periódica, la institución podría suspenderlo con disfrute de salario; y si al final surge una sentencia absolutoria, la institución estará obligado a reincorporarlo, pagándole los sueldos dejados de percibir durante el lapso en que estuvo suspendido (Arts. 88 y 89, Ley 41-08).
En lo que respecta al proceso de destitución, la institución no podrá hacerlo sin antes no agota un procedimiento disciplinario preliminar, en donde hay la ocasión para valorar el grado de la falta que ha cometido, y en donde el propio servidor público tiene la oportunidad de defenderse (Art. 87, Ley 41-08).
Aún después de agotado todo ese procedimiento disciplinario, el empleado público tiene el derecho a recurrir la decisión ante una Comisión de Personal ad hoc, y más luego ante la jurisdicción contencioso administrativa.